สุริยสิทธานตะ- Reboot-เรื่องของตาราง Sine ใน SuryaSiddhanta และการใช้งาน ตอนที่ 2

 สุริยสิทธานตะ- Reboot-เรื่องของตาราง Sine ใน SuryaSiddhanta และการใช้งาน ตอนที่ 2

          ตาราง Sine ใน SuryaSiddhanta และการใช้งาน ตอนที่ 2

          เรื่องของตาราง Sine ใน SuryaSiddhanta ยังคงไม่จบ เพราะมีคำถามทิ้งท้ายไว้ในตอนที่แล้ว ว่า หากพบค่ามุมที่ไม่ได้มีอยู่ในตารางขึ้นมาล่ะ คราวนี้ เราจะคำนวณกันอย่างไร ซึ่งประเด็นที่ว่า จะมานำเสนอกันต่อในตอนนี้

ตัวอย่าง การคำนวณ

ตัวอย่างแรก เราจะมาทำการคำนวณหาค่าของ arc 24 องศากันดู ซึ่งเป็นค่ามุมที่ ไม่มีในตาราง Sine เพราะในตารางมีแสดงไว้คือ 22 องศา 30 ลิบดา กับ 26 องศา 15 ลิบดา (อ้างจากลำดับในตารางคือลำดับที่ 6 กับ 7)

          ขั้นตอนการคำนวณ  มีดังนี้

          หา sine corresponding ของ arc 24 องศา หรือ 1440' (ลิบดา)  

           แปลงค่ามุมในรูปของลิบดาก่อน จะได้ (24 x 60=1440)

          1440/225 = 6 เศษ 90  (หารด้วยค่าความห่างระหว่างมุมในหน่วยลิบดา คือ 225 ลิบดา)

          ผลหาร แทนค่าของลำดับ เก็บเศษพักไว้ก่อน

          เปิดตาราง sine นับไป 6 ลำดับ ได้ค่าในตาราง sine = 1315

          จากนั้น ดูเลขที่ถัดไปจาก 1315 พบกับ 1520

                   จะได้ 1520-1315 = 205 เป็นผลต่างของค่า sine

          ต่อจากนั้น เทียบสัดส่วนดังนี้

                   225(มุม 3 องศา 45 ลิบดา) / 205 (ผลต่าง sine) = 90 (เศษจากการหาร) / X

          จะได้     x= (90 x 205) / 225 = 82

 

          ย้อนกลับมาที่ค่า sine ลำดับที่ 6 คือ 1315 ให้เอา 82 บวกเข้าไป

          จะได้ค่า sine ที่ต้องการคือ 1315 + 82 = 1397' (ลิบดา)

 

          สรุปแบบง่ายๆ ก็คือ วิธีการดังกล่าวมาข้างต้นนี้ เมื่อมองให้ดีๆแล้ว มันก็คือ การเทียบบัญญัติไตรยางศ์ หรือการ interpolate ค่าที่อยู่ในตารางนั่นเอง แต่แทรกวิธีการเฉพาะตัวเข้าไปร่วมด้วย

          เพียงเท่านี้ เราก็สามารถหาค่ามุมใดๆ ที่ไม่เกิน 90 องศา ภายในตารางนี้ได้แล้ว

    ในทางกลับกัน หากมีค่า sine อยู่แล้วค่าหนึ่ง แต่อยากทราบว่า เป็นค่า Sine ของมุมอะไรล่ะ จะต้องทำอย่างไรบ้าง

ในตัวอย่างที่สองนี้ เรียบเรียงออกมาจากใน Text ของ E.Burgess เอง โดยตัวโจทย์มีอยู่ว่า เราพบค่า sine อยู่หนึ่งค่า แต่ไม่ทราบว่า เป็นค่า sine ของมุมอะไร จะคำนวณหาได้อย่างไร

          วิธีทำย้อนกลับ ในกรณี มีค่า sine ที่กำหนดให้ แต่ไม่ทราบมุม ว่า เป็นมุมอะไร ในตาราง Indian Sine Tables

          สมมติ ค่า sine ที่มี คือ 2266 อยากทราบว่า เป็นค่า sine ของมุมอะไร ทำได้ดังนี้

                   เมื่อเปิดตาราง จะพบสองค่า ที่ใกล้เคียง คือ 2093 กับ 2267

                   จากคำอธิบายใน text ของ E.Burgess บอกว่า ให้ใช้ค่า next less คือ ค่าน้อยสุดที่ใกล้เคียง

                   ในที่นี้ จะได้ 2093 เป็นค่าน้อยสุดที่ใกล้เคียง (เพราะค่า2267 เป็นค่าที่เกินไปจากโจทย์อยู่แล้ว จึงไม่น่านำมาใช้งาน กรณีนี้ จึงเหลือแต่ 2093 เท่านั้น)

                   นำ 2266-2093 = 173

          จากนั้น ดูค่าผลต่าง ระหว่าง ตัวน้อยสุดใกล้เคียง กับ มากสุด ใกล้เคียง กับค่าที่กำหนด  ได้ค่าเป็น 174

          (ดูค่าในหลักของ Jya Difference หรือผลต่างแรกของมุมแต่ละลำดับในแต่ละแถวก่อนหน้า ไล่มาตามลำดับในที่นี้ จะอยู่แถวที่ 11)

          ให้เอา  (173 x 225) /174  = 223 เศษ 123

          ได้ผลหาร คือ 223  เศษพักไว้ก่อน

                   จากนั้น ย้อนกลับไปพิจารณาค่าไซน์ของมุม  2 ค่าที่มีก่อนหน้า คือ

                   ลำดับที่ 10       2093

                   ลำดับที่ 11       2267

          ให้เลือกลำดับที่ 10 เพราะเป็นลำดับของค่าใกล้เคียงที่น้อยที่สุด

          นำ ค่าลำดับ คือ 10 ไปคูณ กับ 225 ได้เป็น 2250

          แล้ว เอา ผลหาร ที่ได้ก่อนหน้า มาบวก 2250+223 = 2473 ลิบดา

          จากนั้น เอา 2473 หารด้วย 60 ผลที่ได้คือ 41º13’

         จากสองตัวอย่างนี้ ผู้เขียนได้เรียบเรียงออกมาจากคำอธิบายภายใน Text ซึ่งค่อนข้างสั้น อาศัยการคำนวณตามตัวอย่างและขยายความในขั้นตอนเพิ่มเติม เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น

          สรุปว่า จากตัวอย่างทั้งในตอนที่แล้ว และตอนนี้ ทำให้ได้วิธีการที่จะหาค่าของไซน์สำหรับมุมต่างๆที่มีอยู่ภายในตารางได้ทั้งหมด โดยครอบคลุมระหว่างมุม 3 องศา 45 ลิบดา สิ้นสุดที่มุม 90 องศา หรือเป็นค่าของไซน์สำหรับมุมภายใน จตุภาคหรือควอแดรนต์ที่ 1 เท่านั้น สำหรับการหามุมที่อยู่ในจตุภาค(ควอแดรนต์)อื่นที่เหลือ ต้องปรับให้กลับมาอยู่ในรูปของมุมที่ไม่เกิน 90 องศาเสียก่อน และให้ใช้ความระมัดระวังอย่างรอบคอบ เพราะในการคิดมุมแบบฮินดูโบราณ จะรู้จักแต่เพียงค่าและมุมประกอบของ sine เท่านั้น อย่างอื่นไม่รู้จักเลย รวมถึงการวาดภาพประกอบการคิดคำนวณ พึงคิดเฉพาะมุมประกอบตามนิยามของ sine เท่านั้น กล่าวคือเป็นด้านตรงข้ามของมุมที่ต้องการคำนวณ และการคำนวณค่าของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติอื่นๆที่ไม่ใช่ sine บางครั้งต้องแปลงกลับให้มาอยู่ในรูปของ sine อีกด้วย(ไม่ขอกล่าวถึงในที่นี้)

          แม้จะมีวิธีการใช้งานตามตัวอย่างเพียงเท่านี้ และวิธีการใช้แบบพลิกแพลงอีกบางอย่างตามที่เขียนไว้ในตำรา แต่ก็พบว่า วิธีการเหล่านี้ สามารถนำไปใช้คำนวณหาทั้งตำแหน่งดาวและการเกิดอุปราคาได้เป็นอย่างดี ภายในช่วงระยะเวลาหนึ่ง แต่วิธีการเหล่านี้ก็มีข้อจำกัด เนื่องจากการใช้งาน ใช้ได้เฉพาะก็แต่ค่า sine เท่านั้น ยังไม่ครอบคลุมวิธีการของตรีโกณมิติทั้งหมด แต่ก็ถือเป็นจุดเริ่มต้นหนึ่งในการพัฒนาระบบตรีโกณมิติให้ดียิ่งขึ้นในเวลาต่อมา.

          อย่างไรก็ดี  นับต่อจากนี้ ทางผู้เขียนจะขอใช้วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ซึ่งมีความคุ้นเคยมากกว่า ประกอบกับมีผู้รู้ระดับศาสตราจารย์ได้นำทางการคำนวณด้วยการใช้คณิตศาสตร์ระบบปัจจุบันกับการใช้งานคัมภีร์สุริยสิทธานตะไว้ให้แล้ว การใช้งานโดยส่วนใหญ่ จึงขอมุ่งใช้งานในทางนั้นแทน เว้นแต่บางสูตร บางวิธีการคำนวณ เช่นส่วนหนึ่งในการคำนวณอุปราคา ที่ยังคงต้องใช้ค่าบางอย่างจากในตาราง sine ก็ยังจำเป็นต้องใช้ อยู่บ้าง แต่ไม่มากนัก ฉะนั้น วิธีการที่นำเสนอไปดังกล่าวข้างต้น ทำให้ไว้เพื่อเป็นแนวทางแก่การศึกษาพอสังเขปเพียงเท่านี้.

          พบกันใหม่ ในครั้งหน้า สวัสดี.